7. Étude de Cas - Aspects Statistiques V

Démontrer l'indépendance des essais

Il a déjà été question, dans un texte introductif, de l'importance de la notion d'indépendance des observations utilisées dans l'analyse statistique des performances d'un seul individu. Je présente ici deux tests à utiliser (au choix ou combinés) dans le but de démontrer l'inter-indépendance des essais: le "one sample runs test of randomness" et l'autocorrélation.

(A) One sample rus test of randomness

Le "One sample runs test of randomness" (Siegel & Castellan, 1998), est un test qui permet d'apporter des arguments statistiques en faveur de cette indépendance. Cette technique consiste à observer la séquence (run) d’événements ou essais obtenus. Considérons qu’un individu a obtenu, dans la première condition d’une expérience, les valeurs présentés ci-dessous. Nous devons effectuer ce test pas à pas:
(a) effectuer le test, les valeurs acquises doivent être rangées dans l’ordre d’acquisition;
(b) calculer la médiane des valeurs obtenues;
(c) chacune des valeurs est par la suite convertie en « + » ou en « - » selon qu’elle est supérieure ou inférieure et égale à la médiane.

VALEURS:
3, 7, 3, 6, 2, 6, 5, 5, 4, 3, 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7, 3
Médiane: 5

Donc:
-+-+-+----+--+---++-

Nous pouvons ainsi voir paraître des séquences de « + » entrecoupées de séquences de « - ». Chaque séquence (i.e., succession de signes identiques) est un "run" et la technique est basée sur le nombre de ces séquences (ici r=14). Si le r était trop petit (e.g., 2) ou trop grand, une absence d’indépendance serait suggérée. La statistique du test est la suivante :

avec comme moyenne et écart-type respectifs:

où r est le nombre de séquences observées, m est le nombre des « + », n est le nombre des « - », N est le nombre total d’essais.

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons les données suivantes:
N=20
r=14
m=7
n=13

moyenne=10.1
écart-type=1.97
z=1.98

La valeur du p correspondante, lue dans la table de la loi normale , est <0.05. Nous pouvons donc conclure que les essais ne sont pas distribués de façon aléatoire, ce qui constitue un argument contre leur indépendance.


(B) L'autocorrélation

L'autocorrélation est une analyse qui évalue l'indépendance temporelle des différentes observations (essais) issues d'un même individu. Dans sa forme la plus basique, l'autocorrélation consiste à comparer chacune des observations à celle qui la suit immédiatement dans le temps.

Supposons, encore une fois, que le cas étudié a obtenu les valeurs suivantes à 20 essais successifs:
3, 7, 3, 6, 2, 6, 5, 5, 4, 3, 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7, 3

Une deuxième série de valeurs doit être créée à partir de la première. Afin de faire cela, nous reprenons exactement les mêmes valeurs mais à l'essai +1. Cela donne:
7, 3, 6, 2, 6, 5, 5, 4, 3, 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7, 3

Enfin, afin d'avoir le même nombre d'essais dans les deux séries, nous enlevons la dernière valeur de la première série. Les deux séries à corréler sont donc les suivantes:
a- 3, 7, 3, 6, 2, 6, 5, 5, 4, 3, 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7
b- 7, 3, 6, 2, 6, 5, 5, 4, 3, 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7, 3.

Le calcul n'est autre qu'un coefficient de corrélation habituel de Pearson. Dans le cas présent, la corrélation est r=-0.55, qui correspond à p<0.01. L'autocorrélation est significative, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'indépendance temporelle. Ce résultat confirme les soupçons émis suite aux calculs du "one sample run test of randomness" décrit précédemment.

De façon générale, les essais peuvent être utilisés comme variable aléatoire seulement s'ils sont jugés comme étant indépendants les uns des autres, soit par l'une des méthodes décrites précédemment, soit par les deux simultanément. Dans le cas contraire, il serait opportun d'avoir recours à des analyses qui ne portent pas sur les essais.



RÉFÉRENCES
- Siegel S. & Castellan N.J., Nonparametric Statistics for the Behavioural Sciences (2nd edition), McGraw-Hill, 1988.
- Todman J.B. & Dugard P., Single-case and small-n experimental designs, London, LEA, 2001.